789. На сторонах треугольника $ABC$ построены параллелограммы $ABB_1A_1$, $BCC_1B_2$, $ACC_2A_2$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 789. На сторонах треугольника $ABC$ построены параллелограммы $ABB_1A_1$, $BCC_1B_2$, $ACC_2A_2$. Докажите, что…$ Фото задания

789. На сторонах треугольника $ABC$ построены параллелограммы $ABB_1A_1$, $BCC_1B_2$, $ACC_2A_2$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$.

Accepted Answer

Пусть $\vec A,\vec B,\vec C$ — радиус-векторы вершин. Из параллелограммов следуют равенства: $\vec A_1=\vec A+\vec B_1-\vec B$, $\vec B_2=\vec B+\vec C_1-\vec C$, $\vec A_2=\vec A+\vec C_2-\vec C$. Также в параллелограмме $ACC_2A_2$ имеем $\vec C_2=\vec C+\vec A_2-\vec A$; чтобы не использовать это равенство циклически, рассмотрим векторы сторон непосредственно по соответствующим параллелограммам.

Для трёх построенных параллелограммов обозначим общие стороны так, как они заданы: векторы $\overrightarrow{A_1A_2}$, $\overrightarrow{B_1B_2}$, $\overrightarrow{C_1C_2}$. По правилу сложения векторов в параллелограммах их сумма равна нулю: при обходе трёх внешних пар вершин все векторы сторон исходного треугольника взаимно сокращаются. Поэтому можно отложить эти три вектора последовательно: их сумма нулевая, и ломаная замкнётся, образуя требуемый треугольник.

В предоставленном фрагменте рисунок показывает конкретное расположение вершин, но ориентация подписей параллелограммов задана только рисунком. Для полностью проверяемой записи равенств векторов нужен более чёткий фрагмент с рисунком задания 789.

Ответ: