788. Дан произвольный треугольник $ABC$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника $ABC$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 788. Дан произвольный треугольник $ABC$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно…$ Фото задания

788. Дан произвольный треугольник $ABC$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника $ABC$.

Accepted Answer

Пусть $AA_1, BB_1, CC_1$ — медианы. По формуле для медианы, доказанной сложением векторов, $\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec 0$.

Отложим последовательно векторы $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AA_1}$, $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{BB_1}$, $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{CC_1}$. Их сумма равна нулю, поэтому после первых двух векторов конечная точка совпадает с началом третьего: $M,N,P$ образуют замкнутую ломаную, то есть треугольник (в невырожденном случае).

Каждая сторона этого треугольника равна соответствующей медиане и параллельна ей, поскольку совпадает с её вектором.

788. Дан произвольный треугольник \(ABC\). Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника \(ABC\).

Ответ: