8.1 Докажите, что если в четырехугольнике диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.

Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD.

1. В треугольниках AOB и COD: AO = OC, BO = OD, а углы AOB и COD равны как вертикальные.
2. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AB = CD и соответствующие углы равны, откуда AB ∥ CD.
3. Аналогично равны треугольники AOD и COB, поэтому AD = BC и AD ∥ BC.

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.