8.5 Докажите, что в параллелограмме: А) противолежащие стороны попарно равны; Б) противолежащие углы попарно равны; В) сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°; Г) отрезок с концами на сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Пусть ABCD — параллелограмм, а O — точка пересечения диагоналей.

1. А) Проведём диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по стороне AC и двум прилежащим к ней углам: эти углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Поэтому AB = CD и BC = DA.
2. Б) Из параллельности противоположных сторон следуют равенства накрест лежащих углов: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.
3. В) Соседние углы A и B — односторонние при параллельных прямых AD и BC и секущей AB. Поэтому ∠A + ∠B = 180°.
4. Г) Пусть прямая через O пересекает противоположные стороны AB и CD в точках P и Q. Треугольники AOP и COQ равны: AO = CO (диагонали параллелограмма делятся пополам), углы AOP и COQ вертикальные, а углы OAP и OCQ равны как накрест лежащие при AB ∥ CD. Поэтому OP = OQ.