8.13 Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD в точках M и N, причем MN = 12. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть AB = x, тогда BC = AD = 2x и CD = x. Разместим параллелограмм так, чтобы AB лежала горизонтально.

1. Биссектриса угла A пересекает прямую CD на расстоянии AD = 2x от D: это следует из равенства углов в треугольнике, образованном биссектрисой и параллельными AB и CD. Поэтому точка M лежит на продолжении CD за C, поскольку CD = x.
2. Биссектриса угла B пересекает прямую CD в точке N, для которой CN = AB = x; следовательно, N совпадает с D.
3. На прямой CD расстояние между M и N равно x, то есть MN = AB.
4. Из MN = 12 получаем AB = 12, а BC = 2 · 12 = 24.

Ответ: AB = CD = 12, BC = AD = 24.