8.6 Докажите, что если в четырехугольнике любой отрезок, отличный от диагоналей, с концами на сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится точкой пересечения диагоналей пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.

Обозначим диагонали четырёхугольника ABCD через AC и BD, а точку их пересечения — O. По условию любой подходящий отрезок через O, кроме диагоналей, делится O пополам.

1. Через O проведём отрезок с концами на сторонах AB и CD. По условию его концы симметричны относительно O, поэтому центральная симметрия с центром O переводит сторону AB в сторону CD.
2. Следовательно, прямые AB и CD параллельны.
3. Аналогично, проведя отрезок с концами на сторонах AD и BC, получаем AD ∥ BC.

Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.