8.11 Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, равного 150°, равна двум и делит сторону параллелограмма пополам. Найдите диагональ, проведенную из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами.

Пусть высота из вершины тупого угла опущена на противоположную сторону и делит её пополам. Обозначим тупой угол через A, а сторону, на которую опущена высота, — через CD.

1. Острый угол между боковой стороной и основанием равен 180° − 150° = 30°.
2. В прямоугольном треугольнике с высотой 2 боковая сторона равна 2 / sin 30° = 4, а её проекция на основание равна 4 cos 30° = 2√3.
3. Так как высота попадает в середину противоположной стороны, проекция боковой стороны равна половине основания. Поэтому основание равно 4√3.
4. Диагональ из вершины тупого угла имеет горизонтальную составляющую 4√3 − 2√3 = 2√3 и вертикальную составляющую 2. Её длина равна √((2√3)² + 2²) = 4.
5. С диагональю и основанием образуется прямоугольный треугольник с катетами 2√3 и 2, поэтому угол диагонали с основанием равен 30°. Поскольку исходный угол равен 150°, угол между диагональю и другой стороной равен 150° − 30° = 120°.

Ответ: диагональ равна 4; углы с прямыми, содержащими стороны, равны 30° и 120°.