8.32 а) Докажите, что если в параллелограмме равны диагонали, то такой параллелограмм — прямоугольник. б) Докажите, что если в параллелограмме середина стороны равноудалена от вершин противоположной стороны, то такой параллелограмм — прямоугольник.

а) Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны. Обозначим стороны AB = a, AD = b, угол BAD = \(\alpha\). По теореме косинусов:

\(AC^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha\), \(BD^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\).

Так как \(AC=BD\), их квадраты равны, поэтому \(4ab\cos\alpha=0\). Поскольку \(a,b>0\), получаем \(\cos\alpha=0\), то есть \(\alpha=90°\). По доказанному в задаче 8.30 параллелограмм является прямоугольником.

б) Пусть M — середина стороны AB, а противоположная сторона CD. Зададим координаты: A(0,0), B(2u,0), D(v,w), C(2u+v,w). Тогда M(u,0). Условие равноудалённости от C и D означает \(MC=MD\). Из равенства квадратов расстояний:

\((u+v)^2+w^2=(u-v)^2+w^2\), откуда \(4uv=0\). Так как M — середина стороны AB, \(u>0\), значит, \(v=0\). Следовательно, AD перпендикулярна AB. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.