8.34 Диагонали прямоугольника равны 8 и пересекаются под углом 60°. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, где \(a\ge b\), а диагональ равна 8. Векторы диагоналей можно представить как (a,b) и (a,−b). Косинус острого угла между ними равен \(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\).

Так как угол равен 60° и \(a^2+b^2=8^2=64\), имеем \(\frac{a^2-b^2}{64}=\frac12\), откуда \(a^2-b^2=32\). Решая систему \(a^2+b^2=64\), \(a^2-b^2=32\), получаем \(b^2=16\), поэтому меньшая сторона равна 4.

Ответ: 4.