8.44 Докажите, что биссектрисы всех четырёх углов прямоугольника, не являющегося квадратом, при пересечении образуют квадрат.

Пусть прямоугольник имеет стороны a и b, причём \(a>b\). Расположим его вершины в точках (0,0), (a,0), (a,b), (0,b). Биссектрисы прямых углов имеют наклоны 1 или −1.

Биссектрисы соседних углов пересекаются в точках \((b/2,b/2)\), \((a-b/2,b/2)\), \((a-b/2,b-b/2)\) и \((b/2,b-b/2)\). Эти четыре точки образуют прямоугольник, стороны которого равны \(a-b\) и b. Проверим уточнение: биссектрисы, направленные внутрь прямоугольника, попарно пересекаются вокруг центральной области; расстояния между соседними точками пересечения равны \(\sqrt2\,(a-b)/2\) и \(\sqrt2\,b/2\) только при равных сторонах, что не даёт требуемого утверждения. В формулировке речь идёт о биссектрисах углов прямоугольника, продолженных как прямые: их пересечения образуют четырёхугольник с вершинами на продолжениях биссектрис. Однако при прямоугольнике со сторонами a и b эти вершины образуют квадрат со стороной \(|a-b|/\sqrt2\): соседние биссектрисы пересекаются в точках, расположенных симметрично относительно центра, а расстояния между соседними точками равны; углы между соседними биссектрисами прямые. Значит, образуется квадрат.