8.41 На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD взяты точки K и M так, что AKCM — ромб. Диагональ AC составляет со стороной AB угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника ABCD равна 3.

Обозначим \(AB=w\), \(AD=h\), причём w — наибольшая сторона, поэтому \(w=3\). Из угла между диагональю AC и AB следует \(\tan30°=h/w\), значит, \(h=\sqrt3\).

Зададим координаты: A(0,0), B(3,0), C(3,√3), D(0,√3). Пусть AK = s. Так как AKCM — ромб, стороны AK и KC равны, то есть \(s=KC\). По теореме Пифагора \(KC^2=(3-s)^2+(\sqrt3)^2\). Следовательно, \(s^2=(3-s)^2+3\), откуда \(s=2\).

Ответ: 2.