8.42 Через середину диагонали KM прямоугольника KLMN перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны KL и MN в точках A и B соответственно. Известно, что AB = BM = 6. Найдите большую сторону прямоугольника.

Обозначим KL = MN = w, LM = KN = h, а длину диагонали KM — d. Выберем координаты K(0,h), L(w,h), M(w,0), N(0,0). Прямая через середину KM, перпендикулярная KM, пересекает стороны KL и MN в A и B.

Из координат пересечения получаем \(BM=\frac{d^2}{2w}\), а длина отрезка между сторонами \(AB=\frac{hd}{w}\). Условие AB = BM даёт \(hd=d^2/2\), то есть \(d=2h\). Поскольку \(d^2=w^2+h^2\), получаем \(w^2=3h^2\), следовательно, \(w=\sqrt3h\).

Теперь \(BM=\frac{d^2}{2w}=\frac{4h^2}{2\sqrt3h}=\frac{2h}{\sqrt3}=6\). Значит, \(h=3\sqrt3\), а \(w=9\). Большая сторона прямоугольника равна 9.

Ответ: 9.