8.38 Из точки, расположенной вне окружности, проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные. Радиус окружности равен 10. Найдите длину каждой касательной.

Пусть P — внешняя точка, A и B — точки касания, O — центр окружности. Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным PA и PB. В четырёхугольнике OAPB углы при A, P и B прямые, поэтому угол AOB тоже равен 90°.

Треугольники OAP и OBP равны, поэтому OP делит угол APB пополам. В прямоугольном треугольнике OAP угол при P равен 45°, значит, он равнобедренный и \(PA=OA=10\).

Ответ: 10.