8. Решите неравенство x^2 – x – 6 ≤ 0.

Решение:

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения x^2 - x - 6 = 0:

• Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac
• a = 1, b = -1, c = -6
• \[ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6) \]
• \[ D = 1 + 24 \]
• \[ D = 25 \]
• \[ \sqrt{D} = 5 \]

Корни уравнения:

• \[ x_1 = \frac{-(-1) + 5}{2 \times 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
• \[ x_2 = \frac{-(-1) - 5}{2 \times 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Парабола y = x^2 - x - 6 имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при x^2 положительный). Неравенство x^2 - x - 6 ≤ 0 означает, что нас интересуют значения x, при которых парабола находится ниже или на оси x.

Это происходит между корнями, включая сами корни.

• \[ -2 \le x \le 3 \]

Ответ: [-2, 3]