9. Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО.

Решение:

Пусть точка пересечения касательных — точка \( P \). Тогда \( \angle APB = 72° \).

Рассмотрим четырёхугольник \( PAOB \).

1. \( OA \perp PA \) и \( OB \perp PB \) (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
2. \( \angle OAP = 90° \) и \( \angle OBP = 90° \).
3. Сумма углов четырёхугольника \( PAOB \) равна \( 360° \).
4. \( \angle AOB + \angle OAP + \angle OBP + \angle APB = 360° \).
5. \( \angle AOB + 90° + 90° + 72° = 360° \).
6. \( \angle AOB + 252° = 360° \).
7. \( \angle AOB = 360° - 252° = 108° \).
8. В треугольнике \( \triangle AOB \) \( OA = OB \) (радиусы), поэтому он равнобедренный.
9. Углы при основании \( AB \) равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).
10. \( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180° \).
11. \( 2 \angle OBA + 108° = 180° \).
12. \( 2 \angle OBA = 180° - 108° = 72° \).
13. \( \angle OBA = \frac{72°}{2} = 36° \).

Ответ: 36°