9. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС и ДАВС=107°. Найдите угол ВОС.

Решение:

В равнобедренном \( \triangle ABC \) \( AB = BC \), значит, углы при основании \( AC \) равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

Сумма углов треугольника равна \( 180° \).

1. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = BC \), \( \angle ABC = 107° \).
2. Найти: \( \angle BOC \).
3. Найдём углы при основании: \( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180° \).
4. \( 2 \angle BAC + 107° = 180° \).
5. \( 2 \angle BAC = 180° - 107° = 73° \).
6. \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{73°}{2} = 36.5° \).
7. \( \angle BOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AC \). \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.
8. Центральный угол в два раза больше вписанного: \( \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC \).
9. \( \angle BOC = 2 \cdot 36.5° = 73° \).

Ответ: 73°