9) PQ=x. Найти периметр образованного четырехугольника (рисунок с окружностью и секущими)

Решение:

В данном случае PQ — хорда окружности. Треугольник POQ — равнобедренный, так как OP = OQ = \( 3\sqrt{3} \) (радиусы). Угол POQ = 60°, следовательно, треугольник POQ равносторонний, PQ = OP = OQ = \( 3\sqrt{3} \).

Но по условию PQ = x. Значит, x = \( 3\sqrt{3} \).

Четырехугольник, образованный точками P, Q, R, F, является трапецией, так как RF || PQ (оба перпендикулярны к общей высоте из O на PQ).

RF = 2 * высота трапеции.

Высота равностороннего треугольника POQ:

\[ h = \frac{PQ\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} \]

RF = 2h = 9.

Периметр четырехугольника PQRF = PQ + QR + RF + FP.

PQ = \( 3\sqrt{3} \).

QR = OP - OR = \( 3\sqrt{3} \) - \( 3\sqrt{3} \) = 0. Это означает, что R совпадает с O.

По рисунку P, R, F лежат на одной прямой. Q, R, F лежат на одной прямой.

PQ = \( 3\sqrt{3} \). OP = OQ = \( 3\sqrt{3} \).

Угол POQ = 60°, следовательно, треугольник POQ равносторонний, PQ = \( 3\sqrt{3} \).

Угол POR = 60°. Треугольник POR равносторонний, PR = \( 3\sqrt{3} \).

Угол QOR = 180° (развернутый). Треугольник QOR равнобедренный. Угол OQR = ORQ = 60°. Треугольник QOR равносторонний, QR = \( 3\sqrt{3} \).

RF = OQ - OR = \( 3\sqrt{3} \) - \( 3\sqrt{3} \) = 0. Это означает, что F совпадает с O.

Если PQ=x, то x = \( 3\sqrt{3} \).

Периметр четырехугольника PQRF = PQ + QR + RF + FP = \( 3\sqrt{3} \) + \( 3\sqrt{3} \) + 0 + \( 3\sqrt{3} \) = 9\( \sqrt{3} \).

Ответ: 9\(\sqrt{3}\).