Билет 13 (Задание 18, верхний левый рисунок): В равнобедренной трапеции известны высота 36, меньшее основание 44 и угол при основании 45°. Найдите большее основание.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC — меньшее основание, AD — большее основание. Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда треугольник ABH — прямоугольный.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит, \( \angle DAB = 45° \).

Так как BH — высота, \( \angle BHA = 90° \).

В прямоугольном треугольнике ABH: \( \tan(\angle DAB) = \frac{BH}{AH} \).

\[ \tan(45°) = \frac{36}{AH} \]

Поскольку \( \tan(45°) = 1 \), то \( 1 = \frac{36}{AH} \), откуда \( AH = 36 \).

В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от большего основания к вершинам меньшего основания, равны: \( AH = \frac{AD - BC}{2} \).

Подставим известные значения:

\[ 36 = \frac{AD - 44}{2} \]

\[ 36 \cdot 2 = AD - 44 \]

\[ 72 = AD - 44 \]

\[ AD = 72 + 44 = 116 \]

Ответ: 116.