422 а) Целое число при делении на 6 дает в остатке 5. Докажите, что куб этого числа при делении на 6 дает в остатке 5. б) Целое число при делении на 9 дает в остатке 7. Докажите, что куб этого числа при делении на 9 дает в остатке 1.

а) Пусть целое число имеет вид $$6k + 5$$, где k - целое число. Тогда куб этого числа равен:

$$(6k + 5)^3 = (6k)^3 + 3(6k)^2(5) + 3(6k)(5)^2 + 5^3 = 216k^3 + 540k^2 + 450k + 125$$

Представим это выражение как $$6m + r$$, где m - целое число, а r - остаток от деления на 6.

$$216k^3 + 540k^2 + 450k + 125 = 6(36k^3 + 90k^2 + 75k) + 125$$

Разделим 125 на 6: $$125 = 6(20) + 5$$.

Тогда, $$6(36k^3 + 90k^2 + 75k) + 125 = 6(36k^3 + 90k^2 + 75k) + 6(20) + 5 = 6(36k^3 + 90k^2 + 75k + 20) + 5$$.

Очевидно, что остаток равен 5.

б) Пусть целое число имеет вид $$9k + 7$$, где k - целое число. Тогда куб этого числа равен:

$$(9k + 7)^3 = (9k)^3 + 3(9k)^2(7) + 3(9k)(7)^2 + 7^3 = 729k^3 + 1701k^2 + 1323k + 343$$

Представим это выражение как $$9m + r$$, где m - целое число, а r - остаток от деления на 9.

$$729k^3 + 1701k^2 + 1323k + 343 = 9(81k^3 + 189k^2 + 147k) + 343$$

Разделим 343 на 9: $$343 = 9(38) + 1$$.

Тогда, $$9(81k^3 + 189k^2 + 147k) + 343 = 9(81k^3 + 189k^2 + 147k) + 9(38) + 1 = 9(81k^3 + 189k^2 + 147k + 38) + 1$$.

Очевидно, что остаток равен 1.

Ответ: а) Утверждение доказано; б) Утверждение доказано