415 Докажите, что при любом целом х указанное выражение делится на а: a) (x + 5)³ – (x – 5)³, a = 10;

Докажем, что выражение $$(x + 5)^3 - (x - 5)^3$$ делится на 10 при любом целом x.

Разложим куб суммы и куб разности по формулам:

$$(x + 5)^3 = x^3 + 3x^2(5) + 3x(5^2) + 5^3 = x^3 + 15x^2 + 75x + 125$$

$$(x - 5)^3 = x^3 - 3x^2(5) + 3x(5^2) - 5^3 = x^3 - 15x^2 + 75x - 125$$

Вычтем одно из другого:

$$(x + 5)^3 - (x - 5)^3 = (x^3 + 15x^2 + 75x + 125) - (x^3 - 15x^2 + 75x - 125) = 30x^2 + 250 = 10(3x^2 + 25)$$

Поскольку выражение $$10(3x^2 + 25)$$ делится на 10 при любом целом x, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано