412 Какие одночлены можно подставить вместо А, В, С и D, чтобы получившееся равенство стало тождеством: a) (2n + A)³ = B + C + D + 27m³; в) (3г - A)³ = B - 54r²s + C + D; б) (A + B)³ = 8p³ + C + D + 125q³; г) (А + В)³ = C + 48x²y + 96xy² + D.

а) $$(2n + A)^3 = B + C + D + 27m^3$$

Преобразуем левую часть, используя формулу куба суммы: $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$.

В нашем случае $$a = 2n$$ и $$b = A$$. Тогда: $$(2n + A)^3 = (2n)^3 + 3(2n)^2A + 3(2n)A^2 + A^3 = 8n^3 + 12n^2A + 6nA^2 + A^3$$

Чтобы это было тождеством, необходимо, чтобы выполнялось следующее: $$A = 3m$$, $$B = 8n^3$$, $$C = 12n^2(3m) = 36n^2m$$, $$D = 6n(3m)^2 = 54nm^2$$

б) $$(A + B)^3 = 8p^3 + C + D + 125q^3$$

В нашем случае $$A = 2p$$ и $$B = 5q$$. Тогда: $$(2p + 5q)^3 = (2p)^3 + 3(2p)^2(5q) + 3(2p)(5q)^2 + (5q)^3 = 8p^3 + 60p^2q + 150pq^2 + 125q^3$$

Чтобы это было тождеством, необходимо, чтобы выполнялось следующее: $$C = 60p^2q$$, $$D = 150pq^2$$

в) $$(3r - A)^3 = B - 54r^2s + C + D$$

Преобразуем левую часть, используя формулу куба разности: $$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$.

В нашем случае $$a = 3r$$ и $$b = A$$. Тогда: $$(3r - A)^3 = (3r)^3 - 3(3r)^2A + 3(3r)A^2 - A^3 = 27r^3 - 27r^2A + 9rA^2 - A^3$$

Чтобы это было тождеством, необходимо, чтобы выполнялось следующее: $$A = 2s$$, $$B = 27r^3$$, $$C = 9r(2s)^2 = 36rs^2$$, $$D = -(2s)^3 = -8s^3$$

г) $$(A + B)^3 = C + 48x^2y + 96xy^2 + D$$

В нашем случае $$A = 2x$$ и $$B = 4y$$. Тогда: $$(2x + 4y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(4y) + 3(2x)(4y)^2 + (4y)^3 = 8x^3 + 48x^2y + 96xy^2 + 64y^3$$

Чтобы это было тождеством, необходимо, чтобы выполнялось следующее: $$C = 8x^3$$, $$D = 64y^3$$

Ответ: а) A = 3m, B = 8n³, C = 36n²m, D = 54nm²; б) C = 60p²q, D = 150pq²; в) A = 2s, B = 27r³, C = 36rs², D = -8s³; г) C = 8x³, D = 64y³