B16. $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все рёбра которой равны 6. Точки $P$ и $K$ — середины рёбер $B_1C_1$ и $CC_1$ соответственно, $M\in AA_1$, $A_1M:AA_1=1:3$ (см. рис.). Найдите увеличенный в 25 раз квадрат длины отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки $M,K,P$, пересекает грань $AA_1B_1B$.

Question

Вопрос: $Фото задания: B16. $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все рёбра которой равны 6. Точки $P$ и $K$ — середины рёбер…$ Фото задания

B16. $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все рёбра которой равны 6. Точки $P$ и $K$ — середины рёбер $B_1C_1$ и $CC_1$ соответственно, $M\in AA_1$, $A_1M:AA_1=1:3$ (см. рис.). Найдите увеличенный в 25 раз квадрат длины отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки $M,K,P$, пересекает грань $AA_1B_1B$.

Accepted Answer

Введём координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0,1,0)$, а высоту призмы направим вдоль третьей координаты, умножая её на 6. Тогда $M=(0,0,4)$, $K=(0,1,3)$, $P=(\frac12,\frac12,6)$.

Плоскость через эти точки задаётся уравнением $z=4+5s-t$, где $s,t$ — координаты в плоскости основания, а $z$ измеряется в единицах длины. На грани $AA_1B_1B$ имеем $t=0$, поэтому линия пересечения идёт от $M$ до точки на ребре $BB_1$, для которой $z=6$: $s=\frac25$.

Отрезок пересечения имеет горизонтальную составляющую $\frac25\cdot6=\frac{12}{5}$ и вертикальную составляющую 2. Его квадрат длины равен $(\frac{12}{5})^2+2^2=\frac{244}{25}$. Увеличиваем в 25 раз: $25\cdot\frac{244}{25}=244$.

Ответ: 244.