B20. Угол \(ASB\) правильной треугольной пирамиды \(SABC\) равен \(2\arctg\frac{\sqrt2}{3}\). Найдите значение выражения \(\frac{66\cos^2\beta}{\cos^2\varphi}\), где \(\beta\) — угол между боковым ребром \(SA\) и плоскостью основания \(ABC\), \(\varphi\) — линейный угол двугранного \(SABC\).

Пусть сторона основания равна \(a\), боковое ребро — \(l\), а \(O\) — центр основания. Из прямоугольного треугольника, полученного делением грани \(SAB\) пополам, \(\tan\frac{\angle ASB}{2}=\frac{a/2}{\sqrt{l^2-a^2/4}}=\frac{\sqrt2}{3}\). Отсюда \(l^2=\frac{11a^2}{8}\).

Так как \(AO=\frac{a}{\sqrt3}\), то \(\cos^2\beta=\frac{AO^2}{SA^2}=\frac{8}{33}\).

Пусть \(D\) — середина \(AB\). Тогда \(DO=\frac{a}{2\sqrt3}\), а \(SD=\sqrt{l^2-a^2/4}=\frac{3a}{2\sqrt2}\). Для линейного угла двугранного угла \(\varphi=\angle SDO\), поэтому \(\cos^2\varphi=\frac{DO^2}{SD^2}=\frac{2}{27}\).

Следовательно, \(\frac{66\cos^2\beta}{\cos^2\varphi}=66\cdot\frac{8}{33}\cdot\frac{27}{2}=216\).

Ответ: 216.