B19. Найдите значение выражения \(\frac{42-84\sin^2\alpha}{1+\cos(\frac\pi2-2\alpha)}\), если \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac16\).

Из \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac16\) следует \(\tan\alpha=6\). Тогда \(\cos2\alpha=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}=-\frac{35}{37}\), а \(\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{12}{37}\).

Числитель равен \(42(1-2\sin^2\alpha)=42\cos2\alpha\), знаменатель — \(1+\sin2\alpha\). Поэтому значение выражения равно \(\frac{42\cdot(-35/37)}{1+12/37}=-30\).

Ответ: −30.