Билет 1. 2. Сформулируйте и докажите лемму о параллельных прямых.

Лемма. Если две различные прямые одной плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

Доказательство. Пусть прямые a и b лежат в одной плоскости α, а c параллельна каждой из них. В плоскости α через любую точку прямой a можно провести только одну прямую, параллельную c. Поэтому b не может пересекать a: в точке пересечения через неё проходили бы две различные прямые, параллельные c. Прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, следовательно, они параллельны.

Ответ: при условии, что a и b лежат в одной плоскости, из a ∥ c и b ∥ c следует a ∥ b.