Билет 5. 3. Сформулируйте и докажите второе свойство параллельности прямой и плоскости.

Второе свойство. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Доказательство. Пусть a ∥ b и a ∥ α. Если b лежит в α, утверждение доказано. Иначе предположим, что b пересекает α в точке P. Через P в α проведём прямую c, параллельную a; такая прямая существует по теореме о параллельных прямых в плоскости. Поскольку b ∥ a и проходит через P, через P проходят две прямые, параллельные a: b и c. По единственности они совпадают, поэтому b = c и b лежит в α. Получили противоречие предположению, что b не лежит в α. Значит, если b не лежит в α, она не пересекает α, то есть b ∥ α.