Билет 2. 2. Докажите теорему о параллельности двух прямых в пространстве.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Доказательство существования. Пусть дана прямая a и точка A вне неё. Через a и A проходит плоскость α. В этой плоскости по теореме планиметрии через A можно провести прямую b, параллельную a.

Доказательство единственности. Любая прямая, проходящая через A и параллельная a, должна лежать в плоскости α: две параллельные прямые определяют плоскость, содержащую a и A. В плоскости α через A проходит только одна прямая, параллельная a. Значит, b единственна.

Ответ: через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная этой прямой.