Дано: AB = BC, BE - медиана, ∠ABE = 48°. Найдите сумму внешних углов при вершинах A и C.

Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

Так как BE - медиана, то AE = EC, следовательно, BE - биссектриса, следовательно, ∠ABE = ∠EBC = 48°.

Тогда ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC = 48° + 48° = 96°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, тогда ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Выразим ∠BAC + ∠BCA: ∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠ABC = 180° - 96° = 84°.

Так как ∠BAC = ∠BCA, то ∠BAC = ∠BCA = 84° ∶ 2 = 42°.

Внешний угол и внутренний угол при данной вершине составляют 180°, то есть ∠A + ∠A1 = 180° и ∠C + ∠C1 = 180°.

Тогда ∠A1 = 180° - ∠A = 180° - 42° = 138° и ∠C1 = 180° - ∠C = 180° - 42° = 138°.

Сумма внешних углов при вершинах A и C равна: 138° + 138° = 276°.

Ответ: 276°