4. Докажите тождество (2x+5 / x²+4x+4) : (x+3 / x²+2x) = x²-6 / x³-4x = x-2 / x+2

4. Докажем тождество: $$ \frac{2x+5}{x^2+4x+4} : \frac{x+3}{x^2+2x} = \frac{x^2-6}{x^3-4x} = \frac{x-2}{x+2} $$.

Рассмотрим левую часть: $$ \frac{2x+5}{x^2+4x+4} : \frac{x+3}{x^2+2x} $$.

Заменим деление умножением на обратную дробь: $$ \frac{2x+5}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x^2+2x}{x+3} $$.

Разложим знаменатель первой дроби как полный квадрат: x² + 4x + 4 = (x + 2)².

Вынесем общий множитель x в числителе второй дроби за скобки: x² + 2x = x(x + 2).

$$ \frac{(2x+5) \cdot x(x+2)}{(x+2)^2 \cdot (x+3)} = \frac{x(2x+5)}{ (x+2)(x+3)} $$.

Рассмотрим правую часть: $$ \frac{x-2}{x+2} $$.

Рассмотрим среднюю часть: $$ \frac{x^2-6}{x^3-4x} $$.

Вынесем общий множитель x в знаменателе за скобки: x³ - 4x = x(x² - 4) = x(x - 2)(x + 2).

$$ \frac{x^2-6}{x(x - 2)(x + 2)} $$.

По условию: $$ \frac{2x+5}{x^2+4x+4} : \frac{x+3}{x^2+2x} = \frac{x^2-6}{x^3-4x} = \frac{x-2}{x+2} $$.

$$ \frac{x(2x+5)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x^2-6}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{x-2}{x+2} $$.

Тождество не доказано, так как левая, средняя и правая части не равны.

Ответ: Тождество не доказано.