6.19. \(\left(\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{20} - \sin \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{20}\right) \cdot \sqrt{2}\)

Здесь можно воспользоваться формулой косинуса суммы углов: \(\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). В нашем случае, \(a = \frac{\pi}{5}\) и \(b = \frac{\pi}{20}\). Тогда выражение в скобках равно \(\cos(\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{20}) = \cos(\frac{4\pi}{20} + \frac{\pi}{20}) = \cos(\frac{5\pi}{20}) = \cos(\frac{\pi}{4})\). Так как \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то исходное выражение равно \(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{2}{2} = 1\). Ответ: 1