На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-19;3). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-17;-4].

Решение:

Точки экстремума функции \( f(x) \) — это точки, в которых её производная \( f'(x) \) меняет свой знак. На графике \( y = f'(x) \) это точки пересечения графика с осью \( Ox \), где происходит смена знака.

Нам нужно найти количество точек экстремума на отрезке \( [-17; -4] \).

Рассмотрим график производной \( y = f'(x) \) на заданном отрезке:

1. График пересекает ось \( Ox \) (меняет знак) в точке \( x = -19 \). Однако эта точка находится за пределами отрезка \( [-17; -4] \).
2. На интервале \( (-19; -3) \), график \( y=f'(x) \) находится ниже оси \( Ox \), значит \( f'(x) < 0 \) и функция \( f(x) \) убывает.
3. В точке \( x = -3 \) график пересекает ось \( Ox \). Слева от \( x=-3 \) \( f'(x) < 0 \), а справа (на интервале \( (-3; 1) \)) \( f'(x) > 0 \). Значит, в точке \( x = -3 \) функция \( f(x) \) имеет минимум. Точка \( x = -3 \) принадлежит отрезку \( [-17; -4] \).
4. На интервале \( (-3; 1) \) график \( y=f'(x) \) находится выше оси \( Ox \), значит \( f'(x) > 0 \) и функция \( f(x) \) возрастает.
5. В точке \( x = 1 \) график пересекает ось \( Ox \). Слева от \( x=1 \) \( f'(x) > 0 \), а справа (на интервале \( (1; 3) \)) \( f'(x) < 0 \). Значит, в точке \( x = 1 \) функция \( f(x) \) имеет максимум. Точка \( x = 1 \) не принадлежит отрезку \( [-17; -4] \).

Единственная точка, где производная меняет знак и которая принадлежит отрезку \( [-17; -4] \) — это \( x = -3 \).

Ответ: 1