Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = x^2 + 1 и прямыми y = 0, x = 0, x = 2.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \) и прямыми \( x = a \), \( x = b \) и \( y = 0 \), вычисляется с помощью определённого интеграла:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( f(x) = x^2 + 1 \), \( a = 0 \) и \( b = 2 \).

\( S = \int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx \)

Сначала найдём первообразную для функции \( x^2 + 1 \):

Первообразная для \( x^2 \) равна \( \frac{x^3}{3} \).

Первообразная для \( 1 \) равна \( x \).

Следовательно, первообразная для \( x^2 + 1 \) равна \( \frac{x^3}{3} + x \).

Теперь вычислим определённый интеграл:

\( S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{2} \)

\( S = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) \)

\( S = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - (0) \)

\( S = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} \)

\( S = \frac{14}{3} \)

Ответ: \( \frac{14}{3} \)