Найдите объем и площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

Решение:

Многогранник можно представить как сумму двух параллелепипедов или как один большой параллелепипед с вырезанной частью.

Способ 1: Сумма двух параллелепипедов

Разделим многогранник на два параллелепипеда:

• Нижний параллелепипед имеет размеры: длина = 6, ширина = 4, высота = 2.
• Верхний параллелепипед имеет размеры: длина = 2 (выступ), ширина = 2, высота = 2.

Объём:

1. Объём нижнего параллелепипеда: \( V_{нижний} = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48 \) куб. ед.
2. Объём верхнего параллелепипеда: \( V_{верхний} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) куб. ед.
3. Общий объём: \( V_{общий} = V_{нижний} + V_{верхний} = 48 + 8 = 56 \) куб. ед.

Площадь поверхности:

Вычислим площади всех видимых граней и их симметричных частей:

• Нижняя грань: \( 6 \cdot 4 = 24 \)
• Передняя грань: \( 6 \cdot 2 = 12 \)
• Задняя грань: \( 6 \cdot 2 = 12 \)
• Левая боковая грань (большая часть): \( 4 \cdot 2 = 8 \)
• Правая боковая грань (большая часть): \( 4 \cdot 2 = 8 \)
• Верхняя поверхность состоит из двух частей:
• Основная часть: \( 6 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 24 - 4 = 20 \) (если рассматривать как единое целое, то будет сложнее).
• Площадь выступа: \( 2 \cdot 2 = 4 \)

Чтобы правильно посчитать площадь поверхности, лучше рассмотреть все грани как части большого параллелепипеда.

Способ 2: Большой параллелепипед с вырезом

Представим, что это большой параллелепипед с размерами 6x4x(2+2=4), из которого вырезана часть. Это неудобно.

Вернёмся к разбиению на две части и аккуратно посчитаем площадь поверхности:

1. Нижний параллелепипед (6x4x2):

• Нижняя грань: \( 6 \times 4 = 24 \)
• Боковые грани: \( 2 \times (6 \times 2) + 2 \times (4 \times 2) = 2 \times 12 + 2 \times 8 = 24 + 16 = 40 \)

2. Верхний параллелепипед (2x2x2):

• Верхняя грань: \( 2 \times 2 = 4 \)
• Боковые грани: \( 4 \times (2 \times 2) = 4 \times 4 = 16 \)

Теперь нужно учесть, что часть нижнего параллелепипеда закрыта верхним. Площадь контакта не входит в общую площадь поверхности.

Рассмотрим грани по отдельности:

• Низ: \( 6 \times 4 = 24 \)
• Передняя грань: \( 6 \times 2 = 12 \)
• Задняя грань: \( 6 \times 2 = 12 \)
• Левая боковая грань: \( (4 \times 2) + (2 \times 2) = 8 + 4 = 12 \)
• Правая боковая грань: \( (4 \times 2) + (2 \times 2) = 8 + 4 = 12 \)
• Верхняя часть: \( (6 \times 4 - 2 \times 2) + (2 \times 2) = (24-4) + 4 = 20 + 4 = 24 \)

Общая площадь поверхности: \( 24 + 12 + 12 + 12 + 12 + 24 = 96 \) кв. ед.

Ответ: Объем = 56 куб. ед., Площадь поверхности = 96 кв. ед.