Решите уравнение √7 - 3x = x + 7.

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt{7 - 3x} = x + 7 \).

Для того чтобы избавиться от корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{7 - 3x})^2 = (x + 7)^2 \)

\( 7 - 3x = x^2 + 14x + 49 \)

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 0 = x^2 + 14x + 49 - 7 + 3x \)

\( x^2 + (14x + 3x) + (49 - 7) = 0 \)

\( x^2 + 17x + 42 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac \)

\( D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 \)

\( D = 289 - 168 \)

\( D = 121 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 + 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 - 11}{2} = \frac{-28}{2} = -14 \)

Теперь необходимо проверить полученные корни, подставив их в исходное уравнение, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Важно, чтобы правая часть уравнения \( x + 7 \) была неотрицательной (так как она равна квадратному корню).

Проверка \( x_1 = -3 \):

Левая часть: \( \sqrt{7 - 3(-3)} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4 \).

Правая часть: \( -3 + 7 = 4 \).

Левая часть равна правой, значит \( x = -3 \) — корень.

Проверка \( x_2 = -14 \):

Левая часть: \( \sqrt{7 - 3(-14)} = \sqrt{7 + 42} = \sqrt{49} = 7 \).

Правая часть: \( -14 + 7 = -7 \).

Левая часть (7) не равна правой части (-7). Значит, \( x = -14 \) — посторонний корень.

Ответ: -3