Найдите наименьшее значение функции y = -2x^3 + 12x^2 + 2 на отрезке [-1; 5].

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках (где производная равна нулю или не существует) и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции \( y = -2x^3 + 12x^2 + 2 \):

\( y' = (-2x^3)' + (12x^2)' + (2)' \)

\( y' = -6x^2 + 24x \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -6x^2 + 24x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( -6x \):

\( -6x(x - 4) = 0 \)

Это уравнение имеет два корня: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).

3. Обе критические точки \( x=0 \) и \( x=4 \) принадлежат отрезку \( [-1; 5] \).
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:
• При \( x = -1 \): \( y(-1) = -2(-1)^3 + 12(-1)^2 + 2 = -2(-1) + 12(1) + 2 = 2 + 12 + 2 = 16 \)
• При \( x = 0 \): \( y(0) = -2(0)^3 + 12(0)^2 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 \)
• При \( x = 4 \): \( y(4) = -2(4)^3 + 12(4)^2 + 2 = -2(64) + 12(16) + 2 = -128 + 192 + 2 = 64 + 2 = 66 \)
• При \( x = 5 \): \( y(5) = -2(5)^3 + 12(5)^2 + 2 = -2(125) + 12(25) + 2 = -250 + 300 + 2 = 50 + 2 = 52 \)
5. Сравним полученные значения: 16, 2, 66, 52.

Наименьшее значение функции равно 2.

Ответ: 2