12. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45, а медиана основания равна 6.

Ответ: 36

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Так как пирамида правильная, то основание – правильный треугольник. Медиана правильного треугольника равна его высоте и выражается через сторону следующим образом: \[m = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] где \(m\) – медиана, \(a\) – сторона основания.
• Шаг 2: Выразим сторону основания через медиану: \[a = \frac{2m}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\]
• Шаг 3: Площадь основания равна: \[S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}\]
• Шаг 4: Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°, значит, высота пирамиды проходит через центр описанной окружности. Радиус описанной окружности для правильного треугольника равен: \[R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\]
• Шаг 5: Высота пирамиды равна радиусу описанной окружности, так как угол наклона боковых ребер равен 45°: \[h = R = 4\]
• Шаг 6: Объем пирамиды равен: \[V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}\]

Ответ: 36