6. В треугольной пирамиде две боковые грани взаимно перпендикулярны. Площади этих граней равны Р и Q, а длина их общего ребра равна а. Определите объём пирамиды.

Ответ: \(\frac{PQ}{3a}\)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Пусть \(h_1\) и \(h_2\) – высоты треугольников с площадями \(P\) и \(Q\), проведенные к общему ребру \(a\). Тогда: \[P = \frac{1}{2} a h_1\] \[Q = \frac{1}{2} a h_2\]
• Шаг 2: Выразим высоты: \[h_1 = \frac{2P}{a}\] \[h_2 = \frac{2Q}{a}\]
• Шаг 3: Объем пирамиды равен: \[V = \frac{1}{3} S h\] В нашем случае, одна из граней является основанием, а другая – высотой к этому основанию. Тогда: \[V = \frac{1}{3} h_1 h_2 a = \frac{1}{6} a h_1 h_2\]
• Шаг 4: Подставим выражения для высот: \[V = \frac{1}{3} P \frac{2Q}{a} = \frac{PQ}{3a}\]

Ответ: \(\frac{PQ}{3a}\)