11. Высота правильной треугольной пирамиды В два раза меньше стороны основания. Найдите угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания.

Ответ: arctg(\( \frac{\sqrt{3}}{2} \))

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Введем обозначения:
  • \(h\) – высота пирамиды
  • \(a\) – сторона основания
  По условию \(h = \frac{1}{2}a\).
• Шаг 2: Угол между боковой гранью и плоскостью основания – это угол между высотой боковой грани (апофемой) и проекцией этой высоты на плоскость основания.
• Шаг 3: В правильной треугольной пирамиде проекция высоты боковой грани на плоскость основания является радиусом вписанной окружности. Радиус вписанной окружности для правильного треугольника равен: \[r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]
• Шаг 4: Тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен отношению высоты пирамиды к радиусу вписанной окружности: \[tg(\alpha) = \frac{h}{r} = \frac{\frac{1}{2}a}{\frac{a}{2\sqrt{3}}} = \frac{1}{2}a \cdot \frac{2\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}\]
• Шаг 5: Тогда угол \( \alpha \) равен: \[\alpha = arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} = 60°\]

Ответ: arctg(\( \frac{\sqrt{3}}{2} \))