14. Найдите площадь основания правильной треугольной пирамиды, у которой высота равна 10, а двугранный угол при стороне основания равен 45.

Ответ: 300

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Двугранный угол при стороне основания - это угол между боковой гранью и основанием. Тангенс этого угла равен отношению высоты пирамиды к радиусу вписанной окружности. Если угол равен 45°, то тангенс равен 1: \[tg(45°) = \frac{h}{r} = 1\]
• Шаг 2: В правильной треугольной пирамиде высота проходит через центр вписанной окружности, тогда высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности: \[r = h = 10\]
• Шаг 3: Радиус вписанной окружности связан со стороной основания следующим образом: \[r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\] Отсюда выразим сторону основания: \[a = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 10 \cdot \sqrt{3} = 20\sqrt{3}\]
• Шаг 4: Площадь основания равна: \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(20\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{400 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = 300\]

Ответ: 300