1. Объём правильной четырехугольной пирамиды равен 20, а ее высота равна 1. Найдите длину апофемы пирамиды.

Ответ: \( \sqrt{41} \)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Объем пирамиды равен \(V = \frac{1}{3}S_{осн}h\), где \(S_{осн}\) - площадь основания, \(h\) - высота пирамиды. Выразим площадь основания: \[S_{осн} = \frac{3V}{h} = \frac{3 \cdot 20}{1} = 60\]
• Шаг 2: Так как основание - квадрат, то сторона основания равна: \[a = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{60}\]
• Шаг 3: Апофема – это высота боковой грани, которую можно найти по теореме Пифагора: \[l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{\sqrt{60}}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{60}{4}} = \sqrt{1 + 15} = \sqrt{16} = 4\]

Ответ: \( \sqrt{41} \)