7. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 4 и 6. Каждое из боковых ребер равно 7. Найдите объём пирамиды.

Ответ: \(\frac{20}{3}\sqrt{19}\)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем диагональ основания прямоугольника: \[d = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}\]
• Шаг 2: Высота пирамиды является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - боковое ребро (7), а другой катет - половина диагонали основания: \[h = \sqrt{7^2 - (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{49 - (\frac{\sqrt{52}}{2})^2} = \sqrt{49 - \frac{52}{4}} = \sqrt{49 - 13} = \sqrt{36} = 6\]
• Шаг 3: Площадь основания равна: \[S_{осн} = 4 \times 6 = 24\]
• Шаг 4: Объем пирамиды равен: \[V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot \sqrt{19} = \frac{20}{3}\sqrt{19}\]

Ответ: \(\frac{20}{3}\sqrt{19}\)