3. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, боковое ребро составляет с высотой пирамиды угол 30. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 9

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Высота основания правильной треугольной пирамиды (медиана) равна 3. Выразим сторону основания через медиану: \[a = \frac{2m}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\]
• Шаг 2: Площадь основания равна: \[S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}\]
• Шаг 3: Боковое ребро составляет с высотой пирамиды угол 30°. Значит, высота пирамиды связана с боковым ребром следующим образом: \[h = a tg(30°) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\]
• Шаг 4: Объем пирамиды равен: \[V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 9\]

Ответ: 9