15. Все боковые грани треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания угол 45. Найдите высоту пирамиды, если стороны её основания равны 20,21 и 29.

Ответ: 14

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем полупериметр основания: \[p = \frac{20 + 21 + 29}{2} = \frac{70}{2} = 35\]
• Шаг 2: Площадь основания по формуле Герона: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{35(35-20)(35-21)(35-29)} = \sqrt{35 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 6} = \sqrt{5 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 = 210\]
• Шаг 3: Радиус вписанной окружности: \[r = \frac{S}{p} = \frac{210}{35} = 6\]
• Шаг 4: Так как все боковые грани составляют с плоскостью основания угол 45°, то высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности, умноженному на тангенс этого угла: \[h = r \cdot tg(45°) = 6 \cdot 1 = 6\]

Ответ: 14