Найдите значение выражения 1/4 * ((√2 – 1)/(√2 + 1) - 2 * (√3 – 1)/(√3 + 1))².

Решение:

• Сначала упростим дроби внутри скобок, умножая числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
• \[ \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2} \]
• \[ \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]
• Теперь подставим упрощенные дроби обратно в выражение:
• \[ \frac{1}{4} \left( (3 - 2\sqrt{2}) - 2(2 - \sqrt{3}) \right)^2 \]
• \[ \frac{1}{4} \left( 3 - 2\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{3} \right)^2 \]
• \[ \frac{1}{4} \left( -1 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \right)^2 \]
• \[ \frac{1}{4} \left( -(1 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) \right)^2 \]
• \[ \frac{1}{4} (1 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 \]
• Раскроем квадрат: $$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$
• \[ \frac{1}{4} (1^2 + (2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{2} + 2 \cdot 1 \cdot (-2\sqrt{3}) + 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot (-2\sqrt{3})) \]
• \[ \frac{1}{4} (1 + 8 + 12 + 4\sqrt{2} - 4\sqrt{3} - 8\sqrt{6}) \]
• \[ \frac{1}{4} (21 + 4\sqrt{2} - 4\sqrt{3} - 8\sqrt{6}) \]
• \[ \frac{21}{4} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2\sqrt{6} \]

Ответ: ¾ + √2 - √3 - 2√6