Упростите числовое выражение √(43 – 30√2) + √(43 + 30√2).

Решение:

• Рассмотрим выражение под корнем: $$43 + 30\sqrt{2}$$.
• Попытаемся представить его в виде квадрата суммы $$(a + b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + (b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2}$$.
• Сравнивая с $$43 + 30\sqrt{2}$$, имеем:
• $$2ab = 30 ⇒ ab = 15$$.
• $$a^2 + 2b^2 = 43$$.
• Подберем $$a$$ и $$b$$. Если $$a=5$$, $$b=3$$, то $$ab = 15$$. Проверим $$a^2 + 2b^2 = 5^2 + 2(3^2) = 25 + 2(9) = 25 + 18 = 43$$. Это подходит.
• Значит, $$43 + 30\sqrt{2} = (5 + 3\sqrt{2})^2$$.
• Аналогично, $$43 - 30\sqrt{2} = (5 - 3\sqrt{2})^2$$.
• Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
• \[ \sqrt{(5 - 3\sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 + 3\sqrt{2})^2} \]
• \[ |5 - 3\sqrt{2}| + |5 + 3\sqrt{2}| \]
• Проверим знак $$5 - 3\sqrt{2}$$. Возведем в квадрат: $$5^2 = 25$$, $$(3\sqrt{2})^2 = 9 × 2 = 18$$. Так как $$25 > 18$$, то $$5 > 3\sqrt{2}$$, следовательно $$5 - 3\sqrt{2} > 0$$.
• $$5 + 3\sqrt{2}$$ очевидно больше нуля.
• Значит, модули можно убрать:
• \[ (5 - 3\sqrt{2}) + (5 + 3\sqrt{2}) \]
• \[ 5 - 3\sqrt{2} + 5 + 3\sqrt{2} = 10 \]

Ответ: 10