Найдите значение выражения √(27 + 10√2) + √(27 - 10√2).

Решение:

• Рассмотрим выражение под корнем: $$27 + 10\sqrt{2}$$.
• Попытаемся представить его в виде квадрата суммы $$(a + b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + (b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2}$$.
• Сравнивая с $$27 + 10\sqrt{2}$$, имеем:
• $$2ab = 10 ⇒ ab = 5$$.
• $$a^2 + 2b^2 = 27$$.
• Если $$a=5, b=1$$, то $$5^2 + 2(1)^2 = 25 + 2 = 27$$. Это подходит.
• Значит, $$27 + 10\sqrt{2} = (5 + \sqrt{2})^2$$.
• Аналогично, $$27 - 10\sqrt{2} = (5 - \sqrt{2})^2$$.
• Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
• \[ \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2} \]
• \[ |5 + \sqrt{2}| + |5 - \sqrt{2}| \]
• Так как $$5 + \sqrt{2} > 0$$ и $$5 - \sqrt{2} > 0$$, то модули можно убрать:
• \[ (5 + \sqrt{2}) + (5 - \sqrt{2}) \]
• \[ 5 + \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 10 \]

Ответ: 10