Вычислите 1/(√2 – 1) + 1/(√3 – √2) + 2/(√3 – √2).

Решение:

• Для каждой дроби умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя.
• Первая дробь:
• \[ \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 \]
• Вторая дробь:
• \[ \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{1(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2} \]
• Третья дробь:
• \[ \frac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = 2(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} \]
• Сложим полученные выражения:
• \[ (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) \]
• \[ 1 + (\sqrt{2} + \sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) \]
• \[ 1 + 4\sqrt{2} + 3\sqrt{3} \]

Ответ: 1 + 4√2 + 3√3