Найдите значение выражения (2√7)/(√7 + √3) + (2√3)/(√7 - √3).

Решение:

• Приведем дроби к общему знаменателю: $$(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})$$.
• \[ \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{7}(\sqrt{7} - \sqrt{3}) + 2\sqrt{3}(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} \]
• Раскроем скобки в числителе:
• \[ 2(\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\sqrt{7} + 2(\sqrt{3})^2 \]
• \[ 2 \cdot 7 - 2\sqrt{21} + 2\sqrt{21} + 2 \cdot 3 \]
• \[ 14 - 2\sqrt{21} + 2\sqrt{21} + 6 \]
• \[ 14 + 6 = 20 \]
• Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:
• \[ (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 \]
• Таким образом, выражение равно:
• \[ \frac{20}{4} = 5 \]

Ответ: 5