Упростите числовое выражение √(40√2 – 57) – √(40√2 + 57).

Решение:

• Данное выражение содержит квадратные корни из выражений, которые не являются полными квадратами вида $$(a ± b\sqrt{2})^2$$ или $$(a\sqrt{2} ± b)^2$$ в простом виде.
• Попробуем представить $$40\sqrt{2} - 57$$ как $$(a\sqrt{2} - b)^2$$ или $$(b - a\sqrt{2})^2$$.
• $$(a\sqrt{2} - b)^2 = (a\sqrt{2})^2 - 2ab\sqrt{2} + b^2 = 2a^2 + b^2 - 2ab\sqrt{2}$$.
• Сравнивая с $$40\sqrt{2} - 57$$, видим, что знак перед $$40\sqrt{2}$$ положителен, а в выражении после раскрытия скобок он отрицателен. Это означает, что мы ищем корень вида $$\sqrt{X} - \sqrt{Y}$$.
• Рассмотрим выражение: $$\sqrt{A} - \sqrt{B}$$. Его квадрат: $$(\sqrt{A} - \sqrt{B})^2 = A + B - 2\sqrt{AB}$$.
• Если мы имеем $$\sqrt{40\sqrt{2} - 57}$$, то это не стандартный вид.
• Возможно, в условии ошибка, и выражение должно было быть под корнем, например, $$57 + 40\sqrt{2}$$ или $$57 - 40\sqrt{2}$$.
• Если предположить, что имелось в виду $$\sqrt{57 + 40\sqrt{2}} - \sqrt{57 - 40\sqrt{2}}$$:
• $$57 + 40\sqrt{2} = 57 + 2 × 20\sqrt{2} = 57 + 2 × \sqrt{400} × \sqrt{2} = 57 + 2 × \sqrt{800}$$.
• Ищем $$A+B = 57$$, $$AB = 800$$.
• $$t^2 - 57t + 800 = 0$$. Дискриминант $$D = 57^2 - 4 × 800 = 3249 - 3200 = 49$$. $$t = (57 ± 7) / 2$$. $$t_1 = 64/2 = 32$$, $$t_2 = 50/2 = 25$$.
• Значит, $$57 + 40\sqrt{2} = 32 + 25 + 2\sqrt{32 × 25} = (\sqrt{32} + \sqrt{25})^2 = (4\sqrt{2} + 5)^2$$.
• $$57 - 40\sqrt{2} = (4\sqrt{2} - 5)^2$$.
• Тогда выражение: $$\sqrt{(4\sqrt{2} + 5)^2} - \sqrt{(4\sqrt{2} - 5)^2} = |4\sqrt{2} + 5| - |4\sqrt{2} - 5|$$.
• $$4\sqrt{2} = \sqrt{16 × 2} = \sqrt{32}$$. $$5 = \sqrt{25}$$. Так как $$32 > 25$$, то $$4\sqrt{2} > 5$$.
• $$|4\sqrt{2} + 5| = 4\sqrt{2} + 5$$.
• $$|4\sqrt{2} - 5| = 4\sqrt{2} - 5$$.
• Выражение равно $$(4\sqrt{2} + 5) - (4\sqrt{2} - 5) = 4\sqrt{2} + 5 - 4\sqrt{2} + 5 = 10$$.
• Если же условие верное, то $$40\sqrt{2} ≈ 40 × 1.414 = 56.56$$.
• $$40\sqrt{2} - 57 ≈ 56.56 - 57 = -0.44$$. Корень из отрицательного числа не является действительным числом.

Ответ: Выражение некорректно, так как под корнем отрицательное число. Если предположить, что в условии опечатка и имелось в виду √(57 + 40√2) – √(57 - 40√2), то ответ 10.