Вычислите (√10 – √11)/(√10 + √11) + (√10 + √11)/(√10 – √11).

Решение:

• Приведем дроби к общему знаменателю: $$(\sqrt{10} + \sqrt{11})(\sqrt{10} - \sqrt{11})$$.
• \[ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{11}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} + \frac{\sqrt{10} + \sqrt{11}}{\sqrt{10} - \sqrt{11}} = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{11})^2 + (\sqrt{10} + \sqrt{11})^2}{(\sqrt{10} + \sqrt{11})(\sqrt{10} - \sqrt{11})} \]
• Раскроем скобки в числителе, используя формулу $$(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2$$:
• \[ ((\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{10}\sqrt{11} + (\sqrt{11})^2) + ((\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{11} + (\sqrt{11})^2) \]
• \[ (10 - 2\sqrt{110} + 11) + (10 + 2\sqrt{110} + 11) \]
• \[ 21 - 2\sqrt{110} + 21 + 2\sqrt{110} = 42 \]
• Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:
• \[ (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{11})^2 = 10 - 11 = -1 \]
• Таким образом, выражение равно:
• \[ \frac{42}{-1} = -42 \]

Ответ: -42